Observer
Des points régulièrement distribués sur un cercle et reliés par une règle numérique produisent déjà une structure visuelle inattendue.
EXPÉRIENCE 01 · MULTIPLICATION CIRCULAIRE
Quand des droites
commencent à dessiner des courbes.
Une règle mathématique élémentaire. Des centaines de segments. Puis apparaissent des cardioïdes, des rosaces, des enveloppes et des mouvements presque organiques.
RÈGLEj = m·k mod n
RENDUWebGL · temps réel
SORTIEPNG · vidéo WebM
01 — ORIGINE
De l’observation
De l’observation
au laboratoire.
Math Art part d’une question très simple : comment une construction faite uniquement de points et de segments droits peut-elle faire apparaître des formes qui semblent courbes, vivantes et parfois hypnotiques ?
Reconstruire
La géométrie est traduite en coordonnées, puis la multiplication est transformée en correspondance circulaire grâce au modulo.
Explorer
Le multiplicateur devient continu. En le faisant évoluer, les figures se métamorphosent et révèlent des familles de formes.
Expérimenter
WebGL, interaction souris, vitesse, persistance et capture vidéo transforment la démonstration en véritable instrument de recherche visuelle.
DIRECTION DE RECHERCHE
Mathématiques → géométrie → mouvement → perception.
Math Art appartient à une collection évolutive d’expériences numériques reliant mathématiques, fractales, musique, harmoniques et perception. Certaines deviennent des œuvres, d’autres des outils, d’autres encore des supports d’apprentissage.
02 — DÉMONSTRATION
La règle derrière
La règle derrière
la lumière.
Le dessin paraît complexe, mais son moteur repose sur quatre opérations : placer, multiplier, ramener dans le cercle, relier.
Placer n points sur le cercle
Pour un rayon \(R\), le point numéro \(k\) est placé à l’angle \(2\pi k/n\).
\[P_k = R\left(\cos\frac{2\pi k}{n},\;\sin\frac{2\pi k}{n}\right)\]
Appliquer la multiplication circulaire
Chaque point \(k\) est envoyé vers un point cible obtenu par multiplication puis réduction modulo \(n\).
\[j_k \equiv m k \pmod n\]
Le modulo joue le rôle d’une horloge : après \(n-1\), on revient à 0.
Tracer uniquement des segments droits
Le trait affiché entre le point de départ et le point cible est une interpolation linéaire.
\[L_k(s)=(1-s)P_k+sQ_k,\qquad 0\le s\le1\]
Rendre le multiplicateur continu
Dans le laboratoire, \(m\) n’est pas limité aux entiers. La cible glisse continûment sur le cercle.
\[\phi_k(m)=2\pi\,\mathrm{frac}\!\left(\frac{mk}{n}\right),\qquad Q_k=R(\cos\phi_k,\sin\phi_k)\]
CAS PARTICULIER · m = 2
Pourquoi une cardioïde apparaît-elle ?
Quand le nombre de points devient très grand, on peut remplacer l’indice discret par un angle continu \(\theta\). Chaque segment relie alors \(P(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\) à \(P(2\theta)=(\cos2\theta,\sin2\theta)\).
La droite correspondante peut s’écrire :
\[F(x,y,\theta)=x(\sin2\theta-\sin\theta)+y(\cos\theta-\cos2\theta)-\sin\theta=0\]
Une enveloppe est obtenue aux points où une droite de la famille est tangente à la courbe commune. Mathématiquement, on impose simultanément :
\[F=0\qquad\text{et}\qquad\frac{\partial F}{\partial\theta}=0\]
ENVELOPPE OBTENUE
\[x=\frac{2\cos\theta+\cos2\theta}{3}\]
\[y=\frac{2\sin\theta+\sin2\theta}{3}\]
Une cardioïde.
La courbe n’est donc jamais tracée directement : elle apparaît comme frontière commune d’une famille de droites.
MOUVEMENT · PERSISTANCE
D’où viennent les formes hypnotiques à grande vitesse ?
Le laboratoire fait évoluer \(m\) au cours du temps. Avec la persistance activée, l’image précédente n’est pas effacée instantanément : elle est mélangée à la nouvelle.
\[I_t=\alpha I_{t-1}+(1-\alpha)\,R(m_t)\]
Quand \(\alpha\) est proche de 1, plusieurs états successifs restent visibles ensemble. Les segments droits deviennent alors des trajectoires lumineuses. L’effet est temporel : la règle géométrique reste la même, mais notre œil voit la superposition de ses transformations.
03 — VULGARISATION
La même idée,
La même idée,
sans les équations.
On peut comprendre l’expérience comme un jeu d’horloge : chaque point reçoit un numéro, on le multiplie, puis on revient au début dès que l’on dépasse le dernier numéro.
Imagine une horloge
Au lieu de 12 heures, elle possède 200 points. Chaque point est un nombre placé sur le bord d’un cercle.
Relie chaque nombre à son double
1 va vers 2, 2 vers 4, 3 vers 6. Quand le résultat dépasse 199, on repart au début du cercle.
Une courbe apparaît
Chaque ligne reste parfaitement droite. Mais leur densité dessine une frontière commune : notre regard reconnaît une courbe.
Fais varier la règle
Si ×2 devient ×2,01 puis ×2,02…, toute la structure glisse. À grande vitesse, elle semble respirer, tourner et se transformer.
REPÈRES HISTORIQUES
Une idée moderne
Une idée moderne
faite de mathématiques anciennes.
1741
La cardioïde reçoit son nom.
Giovanni de Castillon emploie le terme « cardioïde » au XVIIIᵉ siècle pour cette courbe en forme de cœur, déjà étudiée auparavant.
1801
Gauss formalise les congruences.
Les Disquisitiones Arithmeticae donnent à l’arithmétique modulaire son langage moderne : les nombres peuvent être étudiés par leurs restes.
XXIᵉ
Le calcul temps réel transforme la démonstration.
Ce qui était une construction géométrique statique devient un espace continu d’exploration : on anime les paramètres et on observe les transitions entre les formes.
MAINTENANT
Math Art en fait un laboratoire.
La souris, WebGL, la persistance et l’export vidéo permettent de chercher non seulement des figures, mais aussi leurs trajectoires.
DU SAVOIR À L’EXPÉRIENCE
Comprendre la règle.
Comprendre la règle.
Puis la laisser évoluer.
La page explique. Le laboratoire permet ensuite de manipuler directement le nombre de points, le multiplicateur, la vitesse, la persistance, la caméra et l’enregistrement vidéo.
Ouvrir Math Art Lab →
EXPÉRIMENTER →